Rt△ABC中，AB为斜边，AB•AC=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）

题目内容：

Rt△ABC中，AB为斜边，AB•AC=9，S_△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x y z的取值范围是______．

最佳答案：

△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，

设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，

∵AB•AC=AB|•AC|cosA=9(1)S△ABC=12AB|⋅AC|sinA=6(2)

（1）÷（2），得 tanA=43=ab，

令a=4k，b=3k（k＞0）

则 S△ABC=12ab=6⇒k=1∴三边长分别为3，4，5．

以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，

则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x 3y-12=0．

设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．

可知 x y z=m n |4m 3n-12|5，

且m≥0n≥04m 3n-12≤0，

故x y z=m 2n 125，

令d=m 2n，由线性规划知识可知，如图：

当直线分别经过点A、O时，x y z取得最大、最小值．

故0≤d≤8，故x y z的取值范围是 [125，4]．

故答案为：[125，4]．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。