在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y2=2px（p＞0）相

题目内容：

在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点．

（I）设N（-p，0），求NA•NB的最小值；

（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

最佳答案：

（I）依题意，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：x=my p

由x=my py2=2px⇒y²-2pmy-2p²=0（2分）∴y1 y2=2pmy1•y2=-2p2∴NA•NB=(x1 p，y1)•(x2 p，y2)=(x1 p)(x2 p) y1y2=(my1 2p)(my2 2p) y1y2=(m2 1)y1y2 2pm(y1 y2) 4p2=2p2m2 2p2

当m=0时NA•NB的最小值为2p²．（7分）

（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，AC的中点为o′，l与以AC为直径的圆

相交于P，Q，PQ中点为H，则o′H⊥PQ，o′的坐标为(x1 p2，y12)．∵|o′P|=12|AC|=12(x1-p)2 y12=12x12 p2（9分）∴|PH|2=|o′P|2-|o′H|2=14(x12 p2)-14(2a-x1-p)2=(a-12p)x1 a(p-a)

∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-12p)x1 a(p-a)]（13分）

令a-12p=0得a=12p．此时|PQ|=p为定值．故满足条件的直线l存在，

其方程为x=12p（15分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。