过点P（4，2）作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间．（Ⅰ）AP

题目内容：

过点P（4，2）作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间．

（Ⅰ）AP=3PB，求直线l的方程；

（Ⅱ）求当AP•PB取得最小值时直线l的方程．

最佳答案：

由题意知，直线l的斜率k存在且k≠0，

设l：y=k（x-4） 2，得令y=0，得x=4-2k，所以A（4-2k，0），

再令x=0，得y=2-4k，所以B（0，2-4k）…2分

因为点P（4，2）位于A、B两点之间，所以4-2k＞4且2-4k＞2，解得k＜0．

∴AP=（2k，2），PB=（-4，-4k）…2分

（Ⅰ）因为AP=3PB，所以2k=3•(-4)，所以k=-16．

∴直线l的方程为y=-16（x-4） 2，整理得x 6y-16=0．…3分

（Ⅱ）因为k＜0，所以AP•PB=8((-k) (-1k))≥16，

当-k=-1k即k=-1时，等号成立．

∴当AP•PB取得最小值时直线l的方程为y=-（x-4） 2，化为一般式：x y-6=0．…3分．

答案解析：

2k

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。