设a=(1，cos2θ)，b=(2，1)，c=(4sinθ，1)，d=(12sinθ

题目内容：

设a=(1，cos2θ)，b=(2，1)，c=(4sinθ，1)，d=(12sinθ，1)其中θ∈(0，π4)．

（1）求a•b-c•d的取值范围；

（2）若f(x)=x-1，f(a•b) f(c•d)=62 22，求cosθ-sinθ的值．

最佳答案：

a•b=2 cos2θ c•d=2sin2θ 1（2分）

（1）a•b-c•d=2 cos2θ-2sin2θ-1=cos2θ 1-2sin2θ=2cos2θ（4分）

∵θ∈(0，π4)

∴2cos2θ∈（0，2）

即a•b-c•d的取值范围是（0，2）（7分）

（2）∵f(a•b)=a•b-1=1 cos2θ=2|cosθ|=2cosθ

f(c•d)=c•d-1=2|sinθ|=2sinθ（10分）

∴f(a•b) f(c•d)=2(cosθ sinθ)=62 22

∴cosθ sinθ=32 12

∴(cosθ sinθ)2=1 32=1 2sinθcosθ

∴sin2θ=32

因为θ∈(0，π4)所以2θ=π3 θ=π6

故cosθ-sinθ=32-12（14分）

（注亦可：(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=1-32=4-234

cosθ-sinθ=±3-12θ∈(0，π4)

sinθ＜cosθ∴cosθ-sinθ=32-12）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。