设a=（1-cosα，sinα），b=（1 cosβ，sinβ），c=（1，0），α

题目内容：

设a=（1-cosα，sinα），b=（1 cosβ，sinβ），c=（1，0），α、β∈（0，π），a与c的夹角为θ₁，b与c的夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=π3．

（1）求cos（α β）的值；

（2）设OA=a，OB=b，OD=d，且a b d=3c求证：△ABD是正三角形．

最佳答案：

（1）∵α、β∈（0，π），

∴α2、β2∈（0，π2），

故cosθ₁=a•c|a||c|=1-cosα2-2cosα=1-cosα2=sinα2=cos(π2-α2)，

cosθ₂=b•c|b||c|=1 cosβ2 2cosβ=1 cosβ2=cosβ2，

∴θ1=π2-α2，θ2=β2．

又θ₁-θ₂=π3，即π2-α2-β2=π3，可得α β=π3，故cos（α β）=12．

（2）∵AB=OB-OA=b-a=（cosβ cosα，sinβ-sinα），

∴|AB|=(cosβ cosα)2 (sinβ-sinα)2=2 2cos(β α)=3，

由a b d=3c，可得d=3c-a-b=（1 cosα-cosβ，-sinα-sinβ），

∵AD=OD-OA=d-a=（2cosα-cosβ，-2sinα-sinβ），

∴|AD|=(2cosα-cosβ)2 (2sinα sinβ)2=5-4cos(β-α)=3，

同理可得|BD|=3，故|AB|=|AD|=|BD|，故△ABD是正三角形．

答案解析：

α2

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。