已知平面内点M（-3，2），N（5，-4），l是经过点A（-1，-2）且与MN垂直的

题目内容：

已知平面内点M（-3，2），N（5，-4），l是经过点A（-1，-2）且与MN垂直的直线，动点P（x，y）满足PM•PN=-21．

（1）求直线l的方程与动点P的轨迹Σ的方程；

（2）在轨迹Σ上任取一点P，求P在直线l右下方的概率．

最佳答案：

（1）由题意kMN=-4-25-(-3)=-34，kl=-1kMN=43…（2分），

所以直线l的方程为y-(-2)=43[x-(-1)]，即4x-3y-2=0…（3分），

又PM=(-3-x，2-y)，PN=(5-x，-4-y)…（4分），

由PM•PN=-21得（-3-x）（5-x） （2-y）（-4-y）=-21…（5分），

整理得，轨迹方程为（x-1）² （y 1）²=4…（6分）

（2）轨迹Σ是圆心为C（1，-1）、半径r=2的圆…（7分），

C到直线l的距离d=4×1-3×(-1)-25=1…（8分），

所以d=1＜r，直线l与圆Σ相交…（9分），

设交点为E、F，则cos12∠ECF=dr=12…（10分），所以∠ECF=2π3…（11分），

所以圆C的优弧EF的长为r•(2π-∠ECF)=8π3…（12分），

因为P在直线l右下方，所以P在优弧EF上，所求概率为P=8π32πr=23…（14分）

答案解析：

-4-25-(-3)

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。