在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC=13OA 23OB．（Ⅰ）

题目内容：

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC=13OA 23O

B．

（Ⅰ）求证：A，B，C三点共线，并求|AC||BA|的值；

（Ⅱ）已知A(1，cosx)，B(1 cosx，cosx)，x∈[-π2，π2]，且函数f(x)=OA•OC (2m-23)•|AB|的最小值为12，求实数m的值．

最佳答案：

（Ⅰ）∵OC=13OA 23OB

∴BC=13BA

又因为BC，BA有公共点B，

∴A，B，C三点共线（4分）

∵AC=2CB∴|AC||BA|=23（6分）

（Ⅱ）∵A（1，cosx），B（1 cosx，cosx），

∴OC=13OA 23OB=13(1，cosx) 23(1 cosx，cosx)=(1 23cosx，cosx)（8分）

∴OA•OC=1 23cosx cos2x又∵|AB|=cosx

∴f(x)=OA•OC (2m-23)•|AB|=cos2x 2mcosx 1（10分）

设cosx=t∵x∈[-π2，π2]，∴t∈[0，1]

∴y=t² 2mt 1=（t m）² 1-m²

当-m＜0即m＞0时，当t=0有ymin=1≠12

当0≤-m≤1即-1≤m≤0时，当t=-m有ymin=1-m2=12

∴m=-22

当-m＞1即m＜-1时，当t=1有ymin=2 2m=12∴m=-34（舍去）

综上得m=-22．（15分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。