已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(0，1)，动点M到定直线y=1的距离等于d，

题目内容：

已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(0，1)，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足OM•AM=k(CM•BM-d2)，其中O是坐标原点，k是参数．

（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；

（2）当k=12时，求|OM 2AM|的最大值和最小值；

（3）如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足33≤e≤22，求实数k的取值范围．

最佳答案：

（1）设M（x，y），由题设可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）

∴OM=(x，y)，AM=(x-2，y)，CM=(x，y-1)，BM=(x-2，y-1)，d=|y-1|，

因OM•AM=k(CM•BM-d2)

∴（x，y）•（x-2，y）=

k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|²]

即（1-k）（x²-2x） y²=0为所求轨迹方程．

当k=1时，y=0，动点M的轨迹是一条直线；

当k=0时，x²-2x y²=0，动点M的轨迹是圆；

当k≠1时，方程可化为(x-1)2 y21-k=1，当k＞1时，动点M的轨迹是双曲线；

当0＜k＜1或k＜0时，动点M的轨迹是椭圆．

（2）当k=12时，M的轨迹方程为(x-1)2 y212=1，．得：0≤x≤2，y²=12-12(x-1)2．

∵|OM 2AM|2=|(x，y) 2(x-2，y)|2=|(3x-4，3y)|2

=(3x-4)2 9y2=(3x-4)2 9[12-12(x-1)2]

=92(x-53)2 72．

∴当x=53时，|OM 2AM|2取最小值72

当x=0时，|OM 2AM|2取最大值16．

因此，|OM 2AM|的最小值是142，最大值是4．

（3）由于33≤e≤22，即e＜1，此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为(x-1)2 y21-k=1，

①当0＜k＜1时，a²=1，b²=1-k，c²=1-（1-k）=k，e2=c2a2=k，∵33≤e≤22，∴13≤k≤12；

②当k＜0时，a²=1-k，b²=1，c²=（1-k）-1=-k，e2=c2a2=-k1-k=kk-1，∵33≤e≤22，∴13≤kk-1≤12，而k＜0得，-1≤k≤-12．

综上，k的取值范围是[-1，-12]∪[13，12]．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。