在直角坐标平面中，已知点P1（1，2），P2（2，22），P3（3，23），…，Pn

题目内容：

在直角坐标平面中，已知点P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整数．对平面上任一点A₀，记A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，…，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点．

（1）求向量A0A2的坐标；

（2）当点A₀在曲线C上移动时，点A₂的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3位周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx．求以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式；

（3）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标．

最佳答案：

（1）设点A₀（x，y），A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₁的坐标为（2-x，4-y），

A₁为P₂关于点的对称点A₂的坐标为（2 x，4 y），

∴A0A2={2，4}．

（2）∵A0A2={2，4}，

∴f（x）的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．

因此，设曲线C是函数y=g（x）的图象，

其中g（x）是以3为周期的周期函数，

且当x∈（-2，1]时，g（x）=lg（x 2）-4．

于是，当x∈（1，4]时，g（x）=lg（x-1）-4．

（3）A0An=A0A2 A2A4 … An-2An，

由于A2k-2A2k=2P2k-1P2k，得A0An=2（P1P2 P3P4 … Pn-1Pn）

=2（{1，2} {1，2³} … {1，2^n-1}）=2{n2，2(2n-1)3}={n，4(2n-1)3}

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。