已知向量a=(1，sinx)，b=(sin2x，cosx)，函数f(x)=a•b，x

题目内容：

已知向量a=(1，sinx)，b=(sin2x，cosx)，函数f(x)=a•b，x∈[0，π2]．

（1）求f（x）的最小值和单调区间；

（2）若f(α)=34，求sin2α的值．

最佳答案：

f(x)=a•b=sin²x sinxcosx=1-cos2x2 12sin2x=12（sin2x-cos2x） 12=22sin（2x-π4） 12

（1）∵x∈[0，π2]，∴2x-π4∈[-π4，3π4]

∴当2x-π4=-π4，即x=0时，f（x）最小为-22×22 12=0

由-π2 2kπ≤2x-π4≤π2 2kπ，得-π8 kπ≤x≤3π8 kπ，

由π2 2kπ≤2x-π4≤3π2 2kπ，得3π8 kπ≤x≤7π8 kπ，

取k=0，结合x∈[0，π2]

∴函数f（x）的单调增区间为[0，3π8]，单调减区间为[3π8，π2]

（2）∵f(α)=34，∴22sin（2x-π4） 12=34

∴sin（2x-π4）=24

∵x∈[0，π2]，∴2x-π4∈[-π4，3π4]

∵0＜sin（2x-π4）＜12

∴2x-π4∈（0，π6）

∴cos（2x-π4）=144

∴sin2x=sin（2x-π4 π4）=22sin（2x-π4） 22cos（2x-π4）=22（24 144）=7 14

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。