在直角坐标系中，角φ、2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，函数f

题目内容：

在直角坐标系中，角φ、2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，函数f(x)=OA•OB，若f(x)≤f(π6)对x∈R恒成立．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的对称轴与单调递减区间．

最佳答案：

（1）∵角φ、2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，

∴OA=（cosφ，sinφ），OB=（cos2x，sin2x）

∴f(x)=OA•OB=cosφcos2x sinφsin2x=cos（2x-φ）

∵f(x)≤f(π6)对x∈R恒成立，

∴f(π6)=1，即cos（2×π6-φ）=1

∴φ-π3=2kπ

∴φ=2kπ π3，k∈Z

∴f（x）=cos[2x-（2kx π3）]=cos（2x-π3），

即函数f（x）的解析式为f（x）=cos（2x-π3）

（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-π3），

令2x-π3=kπ，k∈Z，得x=kπ2 π6，k∈Z，

∴f（x）的对称轴为x=kπ2 π6，k∈Z，

∵2kπ≤2x-π3≤2kπ π，k∈Z，

kπ π6≤x≤kπ 2π3，k∈Z，

故函数f（x）的单调递减区间为[kπ π6，kπ 2π3]，k∈Z，

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。