已知O为坐标原点，A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）（1）|OA

题目内容：

已知O为坐标原点，A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）

（1）|OA OC|=13，且α∈（0，π），求α．

（2）在（1）条件下，求OB与OC的夹角；

（3）若AC•BC=-1，求sin2α的值．

最佳答案：

（1））|OA OC|=（3 cosα，sinα）

∴|OA OC|2=9 6cosα cos²α sin²α=10 6cosα=13cosα=12

∵α∈（0，π），∴α=π3．（3分）

（2）∵cos＜OB，OC＞=OB•OC|OB|•|OC|=3sinα3=sinα=32．（6分）

（3）∵AC=（cosα-3，sinα），BC=（cosα，sinα-3）．（8分）

∴AC•BC=cos²α-3cosα sin²α-3sinα=1-3（sinα cosα）=-1

∴sinα cosα=23（10分）

∴1 2sinαcosα=49．

∴sin2α=-59…（12分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。