△OAB中，|AB|=10（1）点C为直线AB上一点，且AC=tAB，(t∈R)，试

题目内容：

△OAB中，|AB|=10

（1）点C为直线AB上一点，且AC=tAB，(t∈R)，试用OA、OB表示O

C．

（2）点C₁、C₂，…，C₉依次为线段AB的10等分点，且OC1 OC2 … OC9=λ(OA OB)，求实数λ的值．

（3）条件同（2），又点P为线段AB上一个动点，定义关于点P的函数f(P)=|OP-OC1| 2|OP-OC2| 3|OP-OC3| … 9|OP-OC9| 10|OP-OB|，求f（P）的最小值．

最佳答案：

（1）在△OAB中AB=OB-OA

∴AC=tAB=tOB-tOA

∴OC=OA AC=tOB （1-t）OA

（2）∵C₁、C₂，…，C₉依次为线段AB的10等分点，

∴OC1=910OA 110OB；

OC2=810OA 210OB；

…

OCn=10-n10OA n10OB；

…

OC9=110OA 910OB；

∴OC1 OC2 … OC9=（110 210 … 910）(OA OB)=92(OA OB)

故λ=92

（3）设AP=xAC1，则

f(P)=|OP-OC1| 2|OP-OC2| 3|OP-OC3| … 9|OP-OC9| 10|OP-OB|，

=|C1P| 2|C2P| 3|C3P| … 9|C3P| 10|BP|

=|x-1| 2|x-2| 3|x-3| … 9|x-9| 10|x-10|

当x∈[k，k 1]时，k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

f（x）=（x-1） 2（x-2） … k（x-k） k（k 1-x）… 10（10-x）

=x 2x … kx-（k 1）x-（k 2）x-…-10x-1²-2²-…-k² （k 1）² （k 2）² … 10²

=（k² k-55）x-[1² 2² … k²-（k 1）²-（k 2）²-…-10²]

当k∈{0，1，2，3，4，5，6}时，k² k-55＜0，函数为减函数

当k∈{7，8，9}时，k² k-55＞0，函数为增函数

故当k=7时，f（P）取最小值f（7）=1×6 2×5 3×4 4×3 5×2 6×1 7×0 8×1 9×2 10×3=112

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。