已知坐标平面内O为坐标原点，OA=(1，5)，OB=(7，1)，OM=(1，2)，P

题目内容：

已知坐标平面内O为坐标原点，OA=(1，5)，OB=(7，1)，OM=(1，2)，P是线段OM上一个动点．当PA•PB取最小值时，求OP的坐标，并求cos∠APB的值．

最佳答案：

由题意，可设OP=(λ，2λ)，其中λ∈[0，1]，

则PA=(1-λ，5-2λ)，PB=(7-λ，1-2λ)（4分）

设f(λ)=PA•PB，则f（λ）=（1-λ）（7-λ） （5-2λ）（1-2λ）

=5λ²-20λ 12，λ∈[0，1]（8分）

又f（λ）在[0，1]上单调递减

∴当λ=1时f（λ）取得最小值，此时P点坐标为（1，2）（12分）

PA=(0，3)，PB=(6，-1)（14分）

∴cos∠APB=PA•PB|PA||PB|=-3337=-3737．（16分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。