在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（-2，0）关于原点O对称，M是动点，且直线EM

题目内容：

在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（-2，0）关于原点O对称，M是动点，且直线EM与FM的斜率之积等于-12．设点M的轨迹为曲线C，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q．

（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；

（Ⅱ）求k的取值范围；

（Ⅲ）设A(2，0)，曲线C与y轴正半轴的交点为B，是否存在常数k，使得向量OP OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

最佳答案：

（Ⅰ）设点M（x，y），由题意得点F（2，0），y-0x 2•y-0x-2=-1，化简可得x² y²=2，

故曲线C的方程为 x² y²=2，表示以原点为圆心，以2为半径的圆．

（Ⅱ）∵点(0，2)是圆和y轴的交点，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，

∴线l与曲线C不能相切，∴k≠0．

（Ⅲ） 把直线l的方程 y-2=k（x-0）代入曲线C的方程 x² y²=2得，（1 k²）x² 22kx=0．

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 x₁ x₂=-22k1 k2，x₁•x₂=0．

∴OP OQ=（x₁ x₂，kx₁ 2 kx₂ 2）=（-22k1 k2，-22k21 k2 22）．

由B（0，2），A(2，0)，∴AB=（-2，2）．∵向量OP OQ与AB共线，

∴-22k1 k2•2-（-2）（-22k21 k2 22）=0，4-4k1 k2=0，∴k=1．

即存在常数 k=1满足题中的条件．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。