已知A、B、C是直线l上的三点，向量OA、OB、OC满足OA-（y 1-lnx）OB

题目内容：

已知A、B、C是直线l上的三点，向量OA、OB、OC满足OA-（y 1-lnx）OB 1-xaxOC=o，（O不在直线l上a＞0）

（1）求y=f（x）的表达式；

（2）若函数f（x）在[1，∞]上为增函数，求a的范围；

（3）当a=1时，求证lnn＞12 13 14 … 1n，对n≥2的正整数n成立．

最佳答案：

（1）∵OA-（y 1-lnx）OB 1-xaxOC=0，

∴OA=（y 1-lnx）OB-1-xaxOC，

∵A，B，C三点共线

∴（y 1-lnx）-1-xax=1

∴y=lnx 1-xax；

（2）f（x）=lnx 1-xax，∴f′（x）=1x-1ax2

∵函数f（x）在[1， ∞）上为增函数，

∴1x-1ax2≥0在[1， ∞）上恒成立

∴a≥1x

∵1x≤1，∴a≥1；

（3）证明：当a=1时，f（x）=lnx 1x-1

由（2）知，x∈[1， ∞）时，f（x）≥f（1）=0

∴lnx≥1-1x（当且仅当x=1时取“=”）

将x用nn-1替代得lnnn-1＞1-n-1n=1n

∴ln21 ln32 … lnnn-1＞12 13 14 … 1n

∴lnn＞12 13 14 … 1n

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。