已知向量a=(sinA B2，cosA-B2-324)，b=(54sinA B2，c

题目内容：

已知向量a=(sinA B2，cosA-B2-324)，b=(54sinA B2，cosA-B2 324)，其中A、B是△ABC的内角，a⊥b．

（1）求tanA•tanB的值；

（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求ca的值．

最佳答案：

（Ⅰ）由题意得 a•b=(sinA B2，cosA-B2-324)•(54sinA B2，cosA-B2 324)=0

即54sin2A B2 cos2A-B2-98=0，

-5cos（A B） 4cos（A-B）=0

cosAcosB=9sinAsinB

∴tanA•tanB=19．

（2）由于tanA•tanB=19＞0，且A、B是△ABC的内角，

∴tanA＞0，tanB＞0

∴tanC=-tan(A B)=-tanA tanB1-tanAtanB=-98(tanA tanB)≤-98×2tanA•tanB=-34

当且仅当 tanA=tanB=13取等号．

∴c为最大边时，有tanA=tanB=13，tanC=-34，

∴sinC=35，sinA=110

由正弦定理得：ca=sinCsinA=35110=3105．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。