已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．（

题目内容：

已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．

（Ⅰ）若|AC|=|BC|，求角α 的值；

（Ⅱ）若AC•BC=-1，求2sin2α sin2α1 tanα 的值．

最佳答案：

（Ⅰ）∵A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα ）．

∴AC=（cosα-3，sinα），BC=（cosα，sinα-3）

∴|AC|=(cosα-3)2 (sinα)2，|BC|=(cosα)2 (sinα-3)2

∵|AC|=|BC|，∴(cosα-3)2 (sinα)2=(cosα)2 (sinα-3)2

即，（cosα-3）² （sinα）²=（cosα）² （sinα-3）²

∴sinα=cosα，∴tanα=1，∴α=kπ π4，k∈Z

（Ⅱ）由（1）知，AC=（cosα-3，sinα），BC=（cosα，sinα-3）

∴AC•BC=（cosα-3）cosα sinα（sinα-3）=1-3（sinα cosα）=-1

∴sinα cosα=23，∴（sinα cosα）²=1 2sinαcosα=(23)2

∴2sinαcosα=-59

2sin2α sin2α1 tanα=2sin2α 2sinαcosα1 sinαcosα=2sinαcosα=-59

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。