已知OF=（c，0）（c＞0），OG=（n，n）（n∈R），|FG|的最小值为1，若

题目内容：

已知OF=（c，0）（c＞0），OG=（n，n）（n∈R），|FG|的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：

①|PF|=ca|PE|（a＞c＞0）；

②PE=λOF（其中OE=（a2c，t），λ≠0，t∈R）；

③动点P的轨迹C经过点B（0，-1）．

（Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）求曲线C的方程；

（Ⅲ）是否存在方向向量为a=（1，k）（k≠0）的直线l，使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．

最佳答案：

（Ⅰ）：|FG|=(n-c)2 n2=2(n-c2)2 c22，

当n=c2时，|FG|_min=c22=1，所以c=2．（3分）

（Ⅱ）∵PE=λOF（λ≠0），∴PE⊥直线x=a2c，又|PF|=ca|PE|（a＞c＞0）．

∴点P在以F为焦点，x=a2c为准线的椭圆上．（5分）

设P（x，y），则有(x-2)2 y2=2a|a22-x|，点B（0-1）代入，解得a=3．

∴曲线C的方程为x23 y²=1（7分）

（Ⅲ）假设存在方向向量为a₀=（1，k）（k≠0）的直线l满足条件，则可设l：y=kx m（k≠0），

与椭圆x23 y²=1联立，消去y得（1 3k²）x² 6kmx 3m²-3=0．（10分）

由判别式△＞0，可得m²＜3k² 1．①

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），由|BM|=|BN|，则有BP⊥MN．

由韦达定理代入k_BP=-1k，可得到m=1 3k22②

联立①②，可得到k²-1＜0，（12分）

∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k1．

即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|．（14分）z

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。