已知向量a=(sinα，-12)，b=(1，2cosα），a•b=15，α∈(0，π

题目内容：

已知向量a=(sinα，-12)，b=(1，2cosα），a•b=15，α∈(0，π2)

（1）求sin2α及sinα的值；

（2）设函数f(x)=5sin(-2x π2 α) 2cos2x(x∈[π24，π2])，求x为何值时，f（x）取得最大值，最大值是多少，并求f（x）的单调增区间．

最佳答案：

（1）∵a•b=sinα-cosα=15

∴（sinα-cosα）²=1-2inαcosα=1-sin2α=125

∴sin2α=2425（2分）

∵（sinα cosα）²=1 sin2α=4925

∴sinα cosα=75

∴sinα=35，cosα=45（5分）

（2）∵f（x）=5cos（2x-α） 1 cos2x

=5（cos2xcosα sin2xsinα） cos2x 1

=5（35cos2x 45sin2x） cos2x 1

=4cos2x 4sin2x 1

=42sin（2x π4） 1（8分）

∵π24≤x≤π2

∴π3≤2x π4≤5π4

当x=π24时，f(x)max=f(π24)=1 26（10分）

要使得函数y=f（x）单调递增

∴-12π 2kπ≤2x π4≤2kπ 12π

∴-3π8 kπ≤x≤π8 kπ（k∈Z）

∵x∈[π24，π2]

∴y=f（x）的单调递增区间为[π24，π8]（12分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。