设平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a•b=0，x=a (t2-k)b，y=-s

题目内容：

设平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a•b=0，x=a (t2-k)b，y=-sa tb，其中，k，t，s∈R．

（1）若x⊥y，求函数关系式s=f（t）；

（2）在（1）的条件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；

（3）实数k在什么范围内取值时？对该范围内的每一个确定的k值，存在唯一的实数t，使x•y=2-s．

最佳答案：

（1）∵设平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a•b=0，

又∵x=a (t2-k)b，y=-sa tb，

当x⊥y时，

x•y=0

即[a (t2-k)b]•[-sa tb]=0

即-S t³-kt=0

故s=t³-kt…（4分）

（2）∵k=3，

∴s=t³-3t，s'=3t²-3，

由s'=0⇒t₁=-1，t₂=1，

f（t）在（-∞，-1）上递增，（-1，1）上递减，（1， ∞）递增，

又∵f（-1）=2，f（3）=18，

∴s的最大值为18…（10分）

（3）∵x•y=2-s，

∴-s t³-kt=2-s，t³-2=kt，…（12分）

当t=0时，等式不成立；

当t≠0时，k=t2-2t，k′=2t 2t2=2(t3 1)t2=0⇒t=-1

k（t）在（-∞，-1）上递减，（-1，0）上递增，（0， ∞）递增，

结合图象可知k＜3时符合要求．…（16分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。