请先阅读：设平面向量a=（a1，a2），b=（b1，b2），且a与b的夹角为θ，因为

题目内容：

请先阅读：

设平面向量a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂），且a与b的夹角为θ，

因为a•b=|a||b|cosθ，

所以a•b≤|a||b|．

即a1b1 a2b2≤a21 a22×b21 b22，

当且仅当θ=0时，等号成立．

（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃∈R，都有(a1b1 a2b2 a3b3)2≤(a21 a22 a23)(b21 b22 b23)成立；

（II）试求函数y=x 2x-2 8-3x的最大值．

最佳答案：

（I）证明：设空间向量a=（a₁，a₂，a₃），b=（b₁，b₂，b₃），且a与b的夹角为θ，

因为a•b=|a|•|b|cosθ，

所以a•b≤|a|•|b|，（3分）

即a1b1 a2b2 a3b3≤a21 a22 a23•b21 b22 b23（6分）

所以(a1b1 a2b2 a3b3)2≤(a21 a22 a23)(b21 b22 b23)，

当且仅当θ=0时，等号成立．（7分）

（II）设空间向量a=（1，1，1），b=(x，2x-2，8-3x)，且a与b的夹角为θ，（9分）

因为y=x 2x-2 8-3x=a•b，

所以y=x 2x-2 8-3x≤12 12 12•x (2x-2) (8-3x)，

即y≤3•6=32，（12分）

当且仅当θ=0（即a与b共线，且方向相同）时，等号成立．

所以当x=2x-2=8-3x时，

即x=2时，函数y=x 2x-2 8-3x有最大值ymax=32．（14分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。