已知P为椭圆9x2 2y2=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在

题目内容：

已知P为椭圆9x² 2y²=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且PM=2MQ，设点M的轨迹为曲线E．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）若直线l：y=x m与曲线E有两个不同的交点A、B，且OA•OB＞23，求实数m的取值范围．

最佳答案：

（I）设点P（x₀，y₀）是椭圆上一点，

则Q（x₀，0），M（x，y），PM=(x-x0，y-y0)，MQ=(x0-x，-y)．

∵PM=2MQ，（1分）

∴x-x0=2(x0-x)y-y0=-2y.

∴x0=xy0=3y即点P的坐标为（x，3y）．（3分）

点P在椭圆上，代入椭圆方程得：9x² 18y²=18．

即曲线E的方程为x² 2y²=2．（5分）

（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

将直线方程y=x m与9x² 18y²=18联立y=x mx2 2y2=2.

去y，得3x² 4mx 2m²-2=0．

由△=（4m）²-12（2m²-2）＞0，解得0≤m²＜3．

x1 x2=-4m3，x1•x2=2m2-23．（7分）

由OA•OB＞23得x1•x2 y1•y2＞23．

而x₁x₂ y₁y₂=x₁x₂ （x₁ m）•（x₂ m）

=2x₁x₂ m（x₁ x₂） m²=2×2m2-23 m(-4m3) m2=m2-43（10分）

∴m2-43＞23，即m²＞2，又0≤m²＜3，

∴2＜m²＜3．

∴实数m的取值范围是(-3，-2)∪(2，3)．（12分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。