如图，已知正方形的边长为，在延长线上，且.动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动

题目内容：

如图，已知正方形

的边长为 ， 在 延长线上，且 .动点 从点 出发，沿正方形 的边按逆时针方向运动一周回到 点，其中 ，则下列命题正确的是.（填上所有正确命题的序号）

①

；

②当点

为 中点时， ；

③若

，则点 有且只有一个；

④

的最大值为 ；

⑤

的最大值为 .

最佳答案：

①②④⑤

答案解析：

由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，

(1)则B（1，0），E（-1，1），故AB=（1，0），AE==（-1，1），所以

=

，由图像可知 ，故①正确；

(2)当点

为 中点时， ， = ，所以 = ，

解得

，则 ，故②正确；

(3)当λ=1，μ=1时，AP=（1，1），此时点P与D重合，满足λ μ=2，

当λ=

,μ= 时，AP=（1， ），此时点P为BC的中点，满足λ μ=2，

故满足λ μ=2的点不唯一，故③错误；

(4)当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ μ≤1，

当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ μ≤3，

当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ μ≤3，

当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ μ≤2，

综上可得0≤λ μ≤3，故④正确，

(5)

= = ,

当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤-λ≤1，故有-1≤

≤0，

当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，0≤2μ≤2,所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1

故-2≤-λ 2μ≤1，

当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1，故-1≤

≤0，

当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，-1≤-λ≤0，故0≤-λ 2μ≤1，

综上可得-2≤-λ 2μ≤1，故⑤正确，

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。