已知为空间的一个基底，且， ，，（1）判断四点是否共面；（2）能否以作为空间的一个基

题目内容：

已知

为空间的一个基底，且 ， ， ，

（1）判断

四点是否共面；

（2）能否以

作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量

最佳答案：

（1）四点不共面；

（2）

．

答案解析：

本试题主要是考查了空间向量中四点共面的问题，以及判定空间向量的基底的定义的运用。

（1）假设四点共面，则存在实数

使 ，

且

，那么可以根据这个结论得到方程组，求解判定不成立。

（2）利用不同面的三个向量可以充当空间的基底，那么我们可以得到，判定

解：

（1）假设四点共面，则存在实数

使 ，

且

，

即

．…4分

比较对应的系数，得一关于

的方程组

解得

与

矛盾，故四点不共面；……………6分

（2）若向量

， ， 共面，则存在实数 使 ，

同（1）可证，这不可能，

因此

可以作为空间的一个基底，

令

， ， ，

由

， ， 联立得到方程组，

从中解得

………………10分所以

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。