（本小题满分12分）设定义在区间上的函数的图象为，是上的任意一点，为坐标原点，设向量

题目内容：

（本小题满分12分）

设定义在区间

上的函数 的图象为 ， 是 上的任意一点， 为坐标原点，设向量 = ， ， ，当实数λ满足x="λ" x ₁ (1－λ) x ₂时，记向量 =λ (1－λ) ．定义“函数 在区间 上可在标准 下线性近似”是指 “ 恒成立”，其中 是一个确定的正数．

（1）求证：

三点共线;

（2）设函数

在区间[0，1]上可在标准 下线性近似，求 的取值范围；

（3）求证：函数

在区间 上可在标准 下线性近似.

（参考数据：

=2.718， ）

最佳答案：

（1）由

=λ (1－λ) 得到 =λ ，所以B，N，A三点共线。

（2）k的取值范围是

．（3）见解析。

答案解析：

（1）由

=λ (1－λ) 得到 =λ ，所以B，N，A三点共线。 ………… 2分

（2）由x="λ" x₁ (1－λ) x₂与向量

=λ (1－λ) ，得N与M的横坐标相同．…4分

对于 [0，1]上的函数y=x²，A(0，0)，B(1，1)，则

，故 ；

所以k的取值范围是

． …………………………………………… 6分

（3）对于

上的函数 ，A( )，B( )，

则直线AB的方程

，………………………………………………8分

令

，其中 ，于是 ， …10分

列表如下：

x

e^m

(e^m，e^{m 1}－e^m)

e^{m 1}－e^m

(e^{m 1}－e^m，e^{m 1})

e^{m 1}

0

－

0

增

减

0

则

，且在 处取得最大值，

又

0.123 ，从而命题成立．…………………………………12分

点评：本题是在新定义下考查向量共线知识以及利用导数求闭区间上函数的最值，是对知识的综合考查，属于难题．理解定义是关键．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。