已知圆的圆心与点关于直线对称，圆与直线相切.（1）设为圆上的一个动点，若点，，求的最

题目内容：

已知圆

的圆心 与点 关于直线 对称，圆 与直线 相切.

（1）设

为圆 上的一个动点，若点 ， ，求 的最小值；

（2）过点

作两条相异直线分别与圆 相交于 ，且直线 和直线 的倾斜角互补， 为坐标原点，试判断直线 和 是否平行？请说明理由.

最佳答案：

（1）-4；

（2）直线

和 一定平行.

答案解析：

本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用两个点关于直线对称，列出方程组，解出

，即得到圆心坐标，再利用点到直线的距离求半径，写出圆的方程，利用向量的点乘列出式子，数形结合找出最小值；第二问，利用直线与圆的位置关系列出方程，得出 两点的横坐标，利用斜率公式写出式子，判断两个斜率是否相等.

试题解析：（Ⅰ）设圆心

，则 中点坐标为 ，1分

∵圆心

与点 关于直线 对称，

∴

，解得 ，3分

∴圆心

到直线 的距离 ，4分

∴求圆

的方程为 ．5分

设

，则 ，

∴

， 6分

作直线

： ，向下平移此直线，当与圆 相切时 取得最小值，这时切点坐标为 ，

所以

· 的最小值为－4．8分

（Ⅱ）由题意知，直线

和直线 的斜率存在，且互为相反数，故可设 ： ， ： ，由 ，得 ．

因为点

的横坐标 一定是该方程的解，故可得 ，同理， ，

则

．

所以，直线

和 一定平行．14分

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。