已知函数，曲线上是否存在两点，使得△是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点

题目内容：

已知函数

，曲线 上是否存在两点 ，使得△ 是以 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在 轴上.如果存在，求出实数 的范围；如果不存在，说明理由.

最佳答案：

存在，且实数

的取值范围是 .

答案解析：

先将斜边

的中点在 轴上这一条件进行转化，确定点 与点 之间的关系，并将 是以点 为直角顶点条件转化为 ，进行得到一个方程，然后就这个方程在定义域上是否有解对自变量的取值进行分类讨论，进而求出参数 的取值范围.

试题解析：假设曲线

上存在两点 、 满足题意，则 、 两点只能在 轴两侧，

因为

是以 为直角顶点的直角三角形，所以 ，

不妨设

，则由 的斜边的中点在 轴上知 ，且 ，

由

，所以 （*）

是否存在两点

、 满足题意等价于方程（*）是否有解问题，

（1）当

时，即 、 都在 上，则 ，

代入方程（*），得

，即 ，而此方程无实数解；

（2）当

时，即 在 上， 在 上，

则

，代入方程（*）得， ，即 ，

设

，则 ，

再设

，则 ，所以 在 上恒成立， 在 上单调递增， ，从而 ，故 在 上也单调递增，

所以

，即 ，解得 ，

即当

时，方程 有解，即方程（*）有解，

所以曲线

上总存在两点 、 ，使得 是以 为直角顶点的直角三角形，

且此三角形斜边的中点在

轴上，此时 .

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。