平面内动点P到点F(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离，记点P的轨迹为曲线Γ.

题目内容：

平面内动点P到点F(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离，记点P的轨迹为曲线Γ.

(1)求曲线Γ的方程；

(2)若点A，B，C是Γ上的不同三点，且满足

＋ ＋ ＝0，证明：△ ABC不可能为直角三角形．

最佳答案：

（1）y²＝4x（2）不可能是直角三角形

答案解析：

(1)由条件可知，点P到点F(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，所以点P的轨迹是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y²＝4x.

(2)证明：方法一，假设△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，

A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，则

＝( x ₂－ x ₁， y ₂－ y ₁)， ＝( x ₃－ x ₁， y ₃－ y ₁)，且 · ＝0，

所以(x₂－x₁)(x₃－x₁)＋(y₂－y₁)(y₃－y₁)＝0.

因为x_i＝

( i＝1，2，3)， y ₁≠ y ₂， y ₁≠ y ₃，

所以(y₁＋y₂)(y₁＋y₃)＋16＝0.

又因为

＋ ＋ ＝0，所以 x ₁＋ x ₂＋ x ₃＝3， y ₁＋ y ₂＋ y ₃＝0，

所以y₂y₃＝－16，①

又

＋ ＋ ＝4( x ₁＋ x ₂＋ x ₃)＝12，

所以(－y₂－y₃)²＋

＋ ＝12，即 ＋ ＋ y ₂ y ₃＝6，②

由①②得

＋ －16＝6，即 －22 ＋256＝0，③

因为Δ＝(－22)²－4×256＝－540<0.

所以方程③无解，从而△ABC不可能是直角三角形．

方法二，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，由

＋ ＋ ＝0，

得x₁＋x₂＋x₃＝3，y₁＋y₂＋y₃＝0.欲证△ABC不是直角三角形，只需证明∠A≠90°.

(ⅰ)当AB⊥x轴时，x₁＝x₂，y₁＝－y₂，从而x₃＝3－2x₁，y₃＝0，

即点C的坐标为(3－2x₁，0)．

由于点C在y²＝4x上，所以3－2x₁＝0，即x₁＝

，

此时A

， B ， C(0，0)，则∠ A≠90°.

(ⅱ)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为x＝ty＋m(t≠0)，代入y²＝4x，整理得y²－4ty－4m＝0，则y₁＋y₂＝4t.

若∠A＝90°，则直线AC的斜率为－t，同理可得y₁＋y₃＝－

.

由y₁＋y₂＋y₃＝0，得y₁＝4t－

， y ₂＝ ， y ₃＝－4 t.

由x₁＋x₂＋x₃＝3，可得

＋ ＋ ＝4( x ₁＋ x ₂＋ x ₃)＝12.

从而

＋ ＋(－4 t) ²＝12，

整理得t²＋

＝ ，即8 t ⁴－11 t ²＋8＝0，④

Δ＝(－11)²－4×8×8＝－135<0.

所以方程④无解，从而∠A≠90°.

综合(ⅰ)(ⅱ)可知，△ABC不可能是直角三角形．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。