如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN

题目内容：

如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.

最佳答案：

4

答案解析：

设

=e ₁, =e ₂,

则

= =-3e ₂-e ₁, =2e ₁ e ₂.

∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在λ,μ∈R,

使

=λ =-λe ₁-3λe ₂, =μ =2μe ₁ μe ₂.

故

= - =(λ 2μ)e ₁ (3λ μ)e ₂,

而

= =2e ₁ 3e ₂,

∴

∴

∴

= ,∴ = ,即AP∶PM=4.

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。