通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。有的数列的通项可以用两个或两个以上的式子来表示。没有通项公式的数列也是存在的，如所有质数组成的数列。

按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数的项，各项依次叫做第1项（或首项），第2项，...，第n项，...。数列也可以看作是一个定义域为自然数集N（或它的有限子集{1,2,3，...，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

性质

1、若已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1,2,3,...去代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项。

2、不是任何一个无穷数列都有通项公式，如所有的质数组成的数列就没有通项公式。

3、给出数列的前n项，通项公式不唯一。

4、有的数列的通项可以用两个或两个以上的式子来表示。

特征

通项公式

如果一个数列的第n项an与其项数n之间的关系可用式子an=f（n）来表示,这个式子就称为该数列的通项公式.

1、通项公式通常不是唯一的,一般取其最简单的形式；

2、通项公式以数列的项数n为唯一变量；

3、并非每个数列都存在通项公式。

4、应用于等差数列或应用于某一不规则数列可以肯定某部分为等差的等差部分。

原理

数列定义

按一定次序排成的一列数叫数列.其中,数列中的每一个数都叫做这个数列的项.

数列的形式一般可表示为a1,a2,…,an,… （1、2、3、…、n为下标）　递推公式： 如果一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的,这个关系就称为该数列的递推公式.例如斐波纳契数列的递推公式为an=an-1+an-2（n、n-1、n-2为下标）。通项公式是要用科学的计算方法来求证的,其中要用到各种公理,定理,及各种计算方法。怎么由递推公式求通项公式关键是看递推公式的形式,不同的形式方法不同。

如

an=a(n-1)+p或an=qa(n-a)

这是最简单的等差型与等比型,这里就不赘述。　

又如

an=p*a(n-1)+q,这种形式可以用不动点法 　

令an-d=p[a(n-1)-d]

通过比较系数,可以把d用p与q表示出来（d=q/(1-p)） 　

然后就化成了等比型,就可以求出an+d,进而求出an。　

又如

an=p*a(n-1)+q*a(n-2)这样的形式 　

可以设

an-d*a(n-1)=p*[a(n-1)-d*a(n-2)] 　

仍然可以解出d,然后可以把an-d*a(n-1)求出,最后再求an。　

还有an=[a*a(n-1)+b]/[c*a(n-1)+d],这是分式型。 　

这时要设an-k=a*[a(n-1)-k]/[c*a(n-1)+d],然后通常可以解出两个k值（k1、k2）

然后再两式相比,得

(an-k1)/(an-k2)=[a(n-1)-k1][a(n-1)-k2],则可以求出(an-k1)/(an-k2),进而求出an

总之,由递推公式求通项公式的类型相当多,每一种方法都不太一样,作此题时应该好好考虑考虑,确定一种最优解法。

应用

编程方面 　

s=s+n;累加器

n=n+1;计数器 　

p=p*i;累乘器

通常用在循环体内