柯西不等式高中公式

二维形式

(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2

等号成立条件：ad=bc

三角形式

√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]

等号成立条件：ad=bc

向量形式

|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

一般形式

(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

补充

①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

常用定理

①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）

③如果不等式F（x）0，那么不等式F(x)

④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。

排序不等式

对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。

当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时，等号成立。

扩展

柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857)是法国数学家、力学家。27岁成为巴黎综合工科学校教授，并当选为法国科学院 院士。他的一生获得了多项重要的成果，柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究，其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等，为数学的发展做出的突出的贡献。柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性，实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程等方面的研究．目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义，实质上都是柯西给出的。数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等。