旋转体体积公式

旋转体体积公式是V=π∫［a,b]f(x)^2dx。

绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π∫［a,b]φ（y)^2dy。

或许你说的是V=2π∫［a,b]y*f(y)dy,也是绕x轴旋转体积。

体积计算方法

长方体，正方体和圆柱。

体积公式是用于计算体积的公式，即计算各种几何体体积的数学算式。比如：圆柱、棱柱、锥体、台体、球、椭球等。

体积公式：计算各种由平面和曲面所围成。

一般来说一个几何体是由面、交线（面与面相交处）、交点（交线的相交处或是曲面的收敛处）而构成的图形的体积的数学算式。

公式的发现

个人06年~07年独立提出问题并总结的旋转体体积公式（前人也给出过）：

V=2π∙G∙S

其中2π表示旋转一整周，G为旋转的二维平面的重心到旋转轴的距离（需要把所有面积归算到旋转轴的同一侧），S为旋转的二维平面的面积（同G的要求）。

公式的拓展

个人还对这个公式做了一些拓展，方便应用和记忆。

（一）旋转任意角度

V=α∙G∙S

其中α为旋转的弧度（超过2π则按照2π计算）

（二）一维到二维的旋转

S=α∙G∙L

其中需要旋转轴变成了一个点，旋转的对象变成了一维曲线，需要将以为曲线全部投影到径向的长度L（指向旋转点），G为L的重心。

（三）0维到一维的旋转

这种情况下，旋转对象和旋转轴全都是一个点，G就是作为旋转对象的点到旋转点的距离。

L=α∙G

（四）三维到四维的旋转

会不会就是α∙G∙V呢？这有点难以想象。

公式的应用

圆环的体积

二维的圆形围绕垂直于平面的轴旋转360°即为3D圆环（类似于手镯），可以直接套公式2π∙G∙S就可以得到体积。

公式的几何证明

任何形状都可以被不同大小形状的三角形完全填满，任何三角形又可以被直角三角形填充。在直角三角形围绕旋转轴旋转成体问题中，直角三角形和旋转轴可以分为三种情况，一条边与旋转轴重合，一个点在旋转轴上，以及完全分离。而一条斜边与旋转轴重合的情况，可以分解成两个直角三角形的直角边与旋转轴重合，其他两种情况都可以转化成加法或者减法，变成直角边与旋转轴重合的情况（具体过程就没记了）。因此只需要证明这一种情况，整个问题就被证明了。