双曲线焦点三角形面积公式

双曲线焦点三角形面积公式：S=b²cot(θ/2)。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。

三角形的面积公式

S=1/2PF₁PF₂sinα

=b²sinα/(1-cosα)

=b²cot(α/2)

设∠F₁PF₂=α

双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1

因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a

在焦点三角形中,由余弦定理得

F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁PF₂cosα

=|PF₁-PF₂|²+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

(2c)²=(2a)²+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

PF₁PF₂=[(2c)²-(2a)²]/2(1-cosα)

=2b²/(1-cosα)

双曲线焦点三角形性质

1、双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线。

2、双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点。

3、双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切。

4、双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点。

5、双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c。

6、双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c。

7、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e。