四棱锥的体积公式

四棱锥体积公式

V=1/3Sh（S为底面积，h为高）

推导过程如下

在四棱锥上做一个与四棱锥B1-ABCD同底等高的四棱柱A1B1C1D1-ABCD出来，沿底面的对角线BD与棱锥的顶角B1所在的面把四棱锥切开，把四棱锥的问题转化成三棱锥的问题。

这时候，两个三棱柱与两个三棱锥都分别是等底等高。他们的体积是分别相等的。若能证明三棱锥体积是1/3sh,即可证明四棱锥的体积计算公式1/3sh。

连接A D1之后，发现三棱柱是由三个三棱锥组成，只要证明这三个三棱锥B1-ABD,A-A1B1D1,A-D1B1D体积相等就可以了。B1-ABD与A-A1B1D1等底等高，所以体积相等。B1-ABD换个角度看其实就是A-B1BD，A-B1BD与A-D1B1D等底等高，所以体积相等。所以B1-ABD与A-D1B1D体积相等。也就是说组成三棱柱的这三个三棱锥体积相等，所以三棱锥体积是1/3sh所以四棱锥的体积计算公式1/3sh。四棱锥的底面面积S加顶点A'面积0除以2的平均面积1/2S的一个四棱柱乘以高h,就是四棱锥体积：V=1/3（S+0）h=1/3Sh。

补充

四棱锥是指由四个三角形和一个四边形构成的空间封闭图形，而正四棱锥，则是底面为正方形，四个三角形为全等三角形而且是等腰三角形。

正四棱锥的特点

1、底面是正方形。

2、侧面为4个全等的等腰三角形且有公共顶点。

3、顶点在底面的投影是底面的中心。

4、三角形的底边就是正方形的边。

5、表面积公式：四个三角形和一个正方形面积的和。

四棱锥的高

四棱锥的高指的是四棱锥的顶点到底面的距离，一般做法是过四棱锥的顶点向四棱锥的底面引垂线，所做出的垂线段的长度即为四棱锥的高。

求四棱锥的高的方法一般是放在某个直角三角形中，或是通过做出合适的辅助线，构造出直角三角形，然后在直角三角形中利用勾股定理求高。

四棱锥的底面

四棱锥中唯一的那个平面四边形的面即为该四棱锥的底面。

1.当四棱锥的底面为长方形、正方形、菱形、梯形、一般的平行四边形时，可以直接利用其对应的面积公式求面积。

2.当四棱锥的底面是不规则的平面四边形时，一般做法是，通过适当的辅助线把这个不规则的四边形分成两个三角形，然后用三角形面积公式分别求出这两个三角形的面积后再求和即可。

四棱锥的体积

求出四棱锥的底面积和高后，直接带入四棱锥的体积公式：V=1/3(Sh)即可。

注意事项

四棱锥的底面积的单位要和四棱锥高的单位保持一致。

如：高的单位是米，那么四棱锥的底面积的单位就要用平方米。高的单位是厘米，那么四棱锥的底面积的单位就要用平方厘米。切忌出现四棱锥的底面积和高的单位不对应的情况。