施密特正交化公式

施密特正交化公式

(α，β)=α·β=α T·β=β T·α=∑XiYi

构造

向量可看做是从原点引出的，所以两向量必有一公共点，也就是原点。所以这两个向量必确定一个平面。注：考虑两向量线性无关，所以不存在共线的情况。

对于平面向量，可以进行正交分解。对于a2，它可以分解为沿b1方向和垂直于b1方向的两个分量。于是考虑到可以考虑将b1方向的分量去除，这样就得到了⊥b1的向量，也就实现了正交化的目的。

定义

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

为什么正交化

在一个平面，或者三维空间中，任意一点都可以被坐标系表示出来。而我们更喜欢的是单位直角坐标系，因为在一个单位直角坐标系中，任意一个向量的坐标分量，通过简单的投影就可以搞定。

因此，如何找到欧式空间的一个“直角坐标系”，变得非常重要。施密特正交化法就告诉我们了一种把“任意坐标系”变为“直角坐标系”的方法。

意义

把一个普通矩阵转换成正交矩阵。在矩阵操作中，经常需要从一组线性无关的向量构造出一组同等个数等价的两两正交的向量，并且需要使每个向量的模等于1，也就是每个新向量都是单位向量，这种做法叫做线性无关向量组的正交规范化。

扩展

施密特正交化的原名是 Gram–Schmidt process，是由Gram和schmidt两个人一起发明的，但是后来因为施密特名气更大，所以该方法被简记为施密特正交化。