已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2-（8p-10q）x 5pq=0至少有

题目内容：

已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x²-（8p-10q）x 5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）．

最佳答案：

根据一元二次方程根与系数的关系可得：x₁ x₂=8p-10q，

x₁•x₂=5pq，

质数都是正整数．所以5pq肯定是正整数，

有一根是正整数，x₁x₂肯定都是正整数，

可以知道有几种可能，

x₁=5 x₂=pq；x₁=5p x₂=q；x₁=5q x₂=p；x₁=1，x₂=5pq；

将x₁，x₂代入 x₁ x₂=8p-10q，

5 pq=8p-10q，（1）

p（q-8） 10（q-8） 80 5=0，

（q-8）（p 10）=-85=-5×17=-1×85，

q=3，p=7，或q=7，p=75（舍去），

5p q=8p-10q，11q=3p，（2）

p=11，q=3，

5q p=8p-10q，15q=7p，（3）

p=15，q=7（舍去），

5pq 1=8p-10q，（4）

5q（p 2）-8（p 2） 16 1=0，

（p 2）（5q-8）=-17，

p=15，q=75（舍去），p=-1，q=-95（舍去），q=95，p=-19（舍去），q=5，p=-3（舍去），

最后p=11，q=3，

或p=7，q=3．

故存在两对质数（11，3）和（7，3）．

答案解析：

75

考点核心：

有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。