给出如下n个平方数：12，22，…，n2，规定可以在其中的每个数前任意添上“ ”号或

题目内容：

  给出如下n个平方数：

  1、²，2²，…，n²，规定可以在其中的每个数前任意添上“ ”号或“-”号，所得的代数和记为L．

  （1）当n=8时，试设计一种可行方案使得|L|最小；

  （2）当n=2005时，试设计一种可行方案使得|L|最小．

最佳答案：

  （1）当L=1²-2²-3² 4²-5² 6² 7²-8²=0

  或L=-1² 2² 3²-4² 5²-6²-7² 8²=0时，|L|最小且最小值为0；

  （2）当n=2005时，

  ①∵给定的2005个数中有1003个奇数，

  ∴不管如何添置“ ”和“-”号，其代数和总为奇数，

  ∴所求的最终代数和大于等于1．

  于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案．

  ②∵k²-（k 1）²-（k 2）² （k 3）³=4，-k² （k 1）² （k 2）²-（k 3）³=-4，

  ∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；

  ③若对6²，7²，…，2005²，根据①每连续8个一组适当添加“ ”和“-”号，使每组的代数和为0，然后对1²，2²，…，5²进而设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．

  ④在对1²，2²，…，5²的设计过程中，有一种方案：-1² 2²-3² 4²-5²=-15，

  又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，

  ∴16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16．

  综上，可行方案为：

  首先对22²，23²，…，2005²，根据①每连续8个一组适当添加“ ”和“-”号，使每组的代数和为0；其次对6²，7²，…，21²，根据③适当添加“ ”和“-”号，使每组的代数和为16；最后对1²，2²，…，5²作-1² 2²-3² 4²-5²=-15设置，便可以使得给定的2005个数的代数和为1，即|L|最小．

考点核心：

  有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。